求线段于圆弧的交点

线段(有限长)和圆弧(非整圆)的求交点可以分为以下3部分进行:

设线段 $l$ 两端分别为 $A$、$B$，设圆 $O$ 的圆心为 $C$，半径为 $r$。

一、求直线是否和正圆相交

这一部方法有两种，一种是通过三角形面积来计算，有：

$$|AB \times AC| = n|AB|$$

$n$ 为直线 $AB$ 到圆心的最短距离(亦是垂直距离)。

另一种是求出圆心在直线 $AB$ 上的投影点，再算出距离。设点 $O$ 为圆心在直线 $AB$ 上的投影点，有：

$$\frac{AB \cdot AC}{AB \cdot AB} = \frac{|AO|}{|AB|}$$

简化一下，有：

$$f = \frac{AB \cdot AC}{AB \cdot AB}$$

$$O = A + fAB$$

求出点 $O$ 后，可以直接通过距离的平方进行比较，无需开方。

这里通过第二种方法进行求解，因为接下来比较方便

二、 求直线与正圆的交点

承接上面第二种方法，设 $P$，$Q$ 分别为直线 $l$ 与圆 $O$ 的交点（仅有有一个交点时计算方法相同，不做特别讨论）。则有：

$$|OP|^2 = |OQ|^2 = r^2 - |OC|^2$$

$$k = \frac{|OP|}{|AB|}$$

$$Q,P = A + (f \pm k)AB$$

可以通过 $0 \leq (f \pm k) \leq 1$ 来快速判断点 $P$，$Q$ 是否位于线段 $AB$ 上。

三、 求位于线段的交点是否在圆弧的方位内

设圆弧 $arc$ 以点 $C$ 为圆心，半径为 $r$，起始角为 $start$，转动角度为 $sweep$。则求出交点 $P$，$Q$ 是否在圆弧的范围内。这一部分更多的是程序上的判断。

起始角为 $start$，转动角度为 $sweep$ 可以分为四种情况

最终圆弧 $arc$ 在 $0-2\pi$ 内可以用一部分或两部分来表示，例如当 $start = 60°, \quad sweep = -120°$ 时，圆弧 $arc$ 所在的范围为 $[0°,60°],[300°,360°]$。

通过 $arctan(PC),arctan(QC)$就能判断出交点是否在圆弧 $arc$ 上